Oh Natasha my dear. Please say you will marry me and become my countess.
辞書：count ～を数える、(英国以外における)伯爵 / a countess 伯爵夫人
参考：未来形の使い分け：３つの未来形（willとbe going toの違い）
Please won’t you reconsider won’t you marry me.
辞書：reconsider 考え直す、再考する
参考：“won’t” と “don’t” の違いって？ | Gaba Style 無料で英語学習
I beseech you won’t you marry me.
辞書：beseech (人)に懇願する
I beg you. I implore you reconsider won’t you won’t you marry me.
辞書：beg 懇願する I beg you.このとおりお願いだ。 / implore 懇願する
この後の急展開で笑ってしまいますが、お願いするという表現を教育するためのようでもあり、小さいころから恋愛教育をしているようでもあります。子供が一生のお願いを何回もする感じにも似ています。
セサミストリートがパロディにしているものの元ネタを探ろうとしてみたところ、音楽の雰囲気だけで判断すれば1930年代のものが似ているように感じられました。
私が英語で口説くような場面はこの先あるのかと真剣に考えてみると、この動画に習って外国人女性を口説けば80歳ぐらいの女性の心を射止めれるかなといったところでしょうか。